Дано: $\cos(4x) + \cos(2x) = 0$, где $x \in [-\pi, \pi/3]$.

Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, можно переписать данное уравнение в виде:

$2\cos(3x)\cos(x) = 0$

Таким образом, решениями уравнения являются значения $x$, для которых $\cos(3x) = 0$ или $\cos(x) = 0$. Эти значения находятся на пересечении графиков функций $\cos(3x)$ и $\cos(x)$.

График функции $\cos(3x)$ имеет период $2\pi/3$ и достигает нуля в точках $x = k\pi/3$, где $k$ - целое число. График функции $\cos(x)$ имеет период $2\pi$ и достигает нуля в точках $x = k\pi + \pi/2$, где $k$ - целое число.

Так как $x \in [-\pi, \pi/3]$, то нужно рассмотреть значения $x$ из этого интервала, которые удовлетворяют уравнениям $\cos(3x) = 0$ или $\cos(x) = 0$.

Для уравнения $\cos(3x) = 0$ получаем следующие значения:

$x_1 = -\frac{\pi}{9},\ x_2 = \frac{\pi}{9},\ x_3 = -\frac{5\pi}{9},\ x_4 = \frac{5\pi}{9}$

Для уравнения $\cos(x) = 0$ получаем следующие значения:

$x_5 = -\frac{\pi}{2},\ x_6 = \frac{\pi}{2}$

Из этих значений нужно выбрать только те, которые лежат на интервале $[-\pi, \pi/3]$. Таким образом, корнями уравнения $\cos(4x) + \cos(2x) = 0$ на заданном интервале являются:

$x_1 = -\frac{\pi}{9},\ x_2 = \frac{\pi}{9},\ x_5 = -\frac{\pi}{2}$

Ответ: $x \in \left{-\dfrac{\pi}{9},\ \dfrac{\pi}{9},\ -\dfrac{\pi}{2}\right}$.