1. Раскроем скобки в выражении и упростим: (а-5)(а+12)-(а+3)(а+4) = а^2+12а-5а-60 - (а^2+4а+3а+12) = а^2+7а-60-а^2-7а-12 = -72

Заметим, что -72 кратно 24, так как 24 = 3 * 8, а -72 делится и на 3, и на 8. Таким образом, можно сделать вывод, что при любом значении а выражение (а-5)(а+12)-(а+3)(а+4) кратно 24.

2. Раскроем скобки и упростим выражение:

(3+a^2)(5-a)-(7-a^2)(a-6)+a(a+10) = 15 - 3a + 5a^2 - 5a - 7a^2 + 42 + a^3 - 6a + a^2 + 10a

= a^3 - 2a^2 - a + 57

Для того чтобы доказать, что это выражение кратно 19, нам нужно показать, что оно равно 0 при подстановке любого целого значения a, которое делится на 19.

Для этого заметим, что если a кратно 19, то a^3 также будет кратно 19 (так как 19 - простое число). Тогда выражение a^3 - 2a^2 - a + 57 можно переписать в виде:

a^3 - 2a^2 - a + 57 = a^3 - a^2 - a^2 + a - 19a^2 + 19a + 57

= a(a-1)(a-2) - 19a(a-1) + 57

= (a-1)(a^2 - a - 19a + 57)

= (a-1)(a^2 - 20a + 57)

Заметим, что если a-1 кратно 19, то второй множитель a^2 - 20a + 57 также будет кратен 19. Для этого нужно показать, что a^2 - 20a + 57 = (a-1)(a-19) + 38 кратно 19 при любом целом a.

a^2 - 20a + 57 = (a-19)(a-1) + 38.

Заметим, что a^2 - 20a + 57 и (a-19)(a-1) отличаются на 38, что кратно 19, значит, они имеют одинаковый остаток при делении на 19. Остаток равен нулю, когда a=19k+1, где k - любое целое число.

Таким образом, мы доказали, что выражение a^3 - 2a^2 - a + 57 кратно 19 при любом цел