Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти её экстремумы. Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю:

y = x + 4/x

y' = 1 - 4/x^2

1 - 4/x^2 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, функция имеет две стационарные точки на отрезке [1; 5]: x=2 и x=-2. Однако, точка x=-2 не принадлежит отрезку [1; 5], поэтому её не учитываем.

Теперь найдём значения функции в концах отрезка и в точке x=2:

y(1) = 1 + 4/1 = 5 y(2) = 2 + 4/2 = 4 y(5) = 5 + 4/5 = 5.8

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [1; 5] равно 5.8, а наименьшее значение - 4.