Дано уравнение:

sin(2x) + 2 ctg(x) = 3

Заметим, что ctg(x) = 1/tan(x), поэтому мы можем переписать уравнение в следующем виде:

sin(2x) + 2/tan(x) = 3

Умножим обе части уравнения на sin(x)*cos(x), чтобы избавиться от дроби в правой части:

sin(2x)sin(x)cos(x) + 2cos(x) = 3sin(x)*cos(x)

Применим формулу для sin(2x):

2*sin(x)*cos(x)sin(x)cos(x) + 2cos(x) = 3sin(x)*cos(x)

Упростим выражение, вынесем общий множитель 2*cos(x):

2cos(x) * (sin^2(x) + 1) = 3sin(x)*cos(x)

Разделим обе части на cos(x) (учитывая, что cos(x) ? 0):

2*(sin^2(x) + 1) = 3*sin(x)

Раскроем скобки:

2sin^2(x) + 2 = 3sin(x)

Полученное уравнение является квадратным относительно sin(x). Перенесем все слагаемые в левую часть:

2sin^2(x) - 3sin(x) + 2 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 421 = 1

sin(x) = (3 ± v1) / (2*2) = 1/2 или 2/1

Теперь найдем все решения уравнения. Для этого рассмотрим два случая:

1. sin(x) = 1/2

Тогда x = ?/6 + 2?k или x = 5?/6 + 2?k, где k - произвольное целое число.

2. sin(x) = 2/1

Такое уравнение не имеет решений, так как sin(x) принимает значения только в интервале [-1, 1].

Итак, решения уравнения sin(2x) + 2 ctg(x) = 3 равны x = ?/6 + 2?k или x = 5?/6 + 2?k, где k - произвольное целое число.